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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

发表时间:2019-12-09 20:33




类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)


         

方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即,求出

例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为,体积为,则这个球的表面积是(   C   )

A.         B.          C.         D.

(2)若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是             

解:(1),选C;  

(2)

(3)在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是       

解:引理:正三棱锥的对棱互垂直。证明如下:

 如图(3)-1,取的中点,连接交于,连接,则是底面正三角形的中心,平面

平面

,同理:,即正三棱锥的对棱互垂直,

本题图如图(3)-2,

平面

 平面

故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直,

,即

正三棱锥外接球的表面积是


(4)在四面体中,则该四面体的外接球的表面积为(   D )                    

(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为,那么它的外接球的表面积是     


(6)已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形,则该几何体外接球的体积为               

 解析:(4)在中,

的外接球直径为

,选D

(5)三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为),则

 (6)




类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)

 1.题设:如图5,平面

解题步骤:

第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直     

,连接,则必过球心

第二步:的外心,所以平面,算出小圆的半

(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得

),

第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①

2.题设:如图6,7,8,的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点


       


          

解题步骤:

第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;

第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);

 第三步:勾股定理:,解出

方法二:小圆直径参与构造大圆。

例2   一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为(   )C

A.     B.      C.      D.以上都不对

解:选C,,, ,

,











类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)



1.题设:如图9-1,平面平面,且(即为小圆的直径)

第一步:易知球心必是的外心,即的外接圆是大圆,先求出小圆的直径

第二步:在中,可根据正弦定理,求出


2.如图9-2,平面平面,且(即为小圆的直径)

3.如图9-3,平面平面,且(即为小圆的直径),且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点

解题步骤:

第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;

第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);

第三步:勾股定理:,解出

4.如图9-3,平面平面,且(即为小圆的直径),且,则

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①

例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为,则该球的表面积为     

(2)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积为            

解:(1)由正弦定理或找球心都可得

(2)方法一:找球心的位置,易知,故球心在正方形的中心处,

方法二:大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是的外接圆,此处特殊,的斜边是球半径,


(3)在三棱锥中,,侧棱与底面所成的角为,则该三棱锥外接球的体积为(     )   

A.          B.          C. 4          D.

解:选D,圆锥在以的圆上,

(4)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为(  )A

A.         B.       C.        D.

解:

类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)


 

题设:如图10-1,图10-2,图10-3,棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)

第一步:确定球心的位置,的外心,则平面

第二步:算出小圆的半径也是圆柱的高);

第三步:勾股定理:,解出

例4 (1)一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为,则这个球的体积为                   

解:设正六边形边长为,正六棱柱的高为,底面外接圆的关径为,则

底面积为

,球的体积为

(2)直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于         

 解:

(3)已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直,,则多面体的外接球的表面积为           

解析:折叠型,法一:的外接圆半径为

;法二:

(4)在直三棱柱中,则直三棱柱的外接球的表面积为         

解析:


类型五、折叠模型

题设:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠(如图11)










第一步:先画出如图所示的图形,将画在小圆上,找出的外心

第二步:过分别作平面和平面的垂线,两垂线的交点即为球心,连接

第三步:解,算出,在中,勾股定理:

例5三棱锥中,平面平面,△和△均为边长为的正三角形,则三棱锥外接球的半径为            .

 解析:

法二:

类型六、对棱相等模型(补形为长方体)

题设:三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(

第一步:画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;

第二步:设出长方体的长宽高分别为列方程组,

补充:

第三步:根据墙角模型,

 ,求出

例如,正四面体的外接球半径可用此法。

例6(1)棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一

个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是            .

 (2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上,其中底面的三个顶点

在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是(    )

A.        B.         C.         D.

解:(1)截面为,面积是

(2)高,底面外接圆的半径为,直径为

设底面边长为,则

三棱锥的体积为

(3)在三棱锥中,则三棱锥外接球的表面积为           

解析:如图12,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为,则

(4)如图所示三棱锥,其中则该三棱锥外接球的表面积为               .

解析:同上,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为

 【55;对称几何体;放到长方体中】

(5)正四面体的各条棱长都为,则该正面体外接球的体积为            

解析:这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中,


类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型


题设:,求三棱锥外接球半径(分析:取公共的斜边的中点,连接

,则为三棱锥外接球球心,然后在中求出半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定值。

例7(1)在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积为(      )

A.         B.         C.          D.

解:(1),选C

(2)在矩形中,,沿将矩形折叠,连接,所得三棱锥的外接球的表面积为                 

解析:(2)的中点是球心

类型八、锥体的内切球问题


1.题设:如图14,三棱锥上正三棱锥,求其外接球的半径。

第一步:先现出内切球的截面图,分别是两个三角形的外心;

第二步:求是侧面的高;

第三步:由相似于,建立等式:,解出


 2.题设:如图15,四棱锥上正四棱锥,求其外接球的半径


第一步:先现出内切球的截面图,三点共线;

第二步:求是侧面的高;

第三步:由相似于,建立等式:,解出


3.题设:三棱锥是任意三棱锥,求其的内切球半径

方法:等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步:先画出四个表面的面积和整个锥体体积;

第二步:设内切球的半径为,建立等式:

第三步:解出

习题:

1.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且,则该三棱锥的外接球半径为(    )

A.     B.      C.     D.

解:【A】

【三棱锥有一侧棱垂直于底面,且底面是直角三角形】【共两种】

三棱锥中,侧棱平面,底面是边长为的正三角形,,则该三棱锥的外接球体积等于       .

解析:,外接球体积

【外心法(加中垂线)找球心;正弦定理求球小圆半径】

3.正三棱锥中,底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则该三棱锥的外接球体积等于       .

解析:外接圆的半径为 ,三棱锥的直径为,外接球半径

,外接球体积

4.三棱锥中,平面平面,△边长为的正三角形,,则三棱锥外接球的半径为            .

解析:的外接圆是大圆,

三棱锥中,平面平面,则三棱锥外接球的半径为            .

解析:

三棱锥中,平面平面,则三棱锥外接球的半径为            .

解:是公共的斜边,的中点是球心,球半径为














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